Geometria

Simone Malacrida

• Publisher: Simone Malacrida
• Year: 2016
• ISBN:
  9781523624799
• Topic: Mathematics
• Subtopic: Geometry
• Index: Mathematics

In questo libro sono presentati tutti gli argomenti riguardanti la geometria: geometria piana euclidea
geometria solida euclidea
geometria analitica nel piano
geometria proiettiva
geometria analitica nello spazio
geometrie non euclidee
geometria combinatoria
geometria discreta
geometria frattale
geometria differenziale

IV

GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO

Definizioni

La geometria analitica mette in relazione i concetti di geometria elementare con la definizione di svariate funzioni esprimibili mediante equazioni analitiche.

Le funzioni possono essere esplicite ossia assumere la forma y=f(x) oppure implicite nella forma f(x,y)=0.

Lo scopo principale della geometria analitica è quello di tracciare il grafico di ogni tipologia di funzione per permettere una visualizzazione grafica e per risolvere graficamente le equazioni, mezzo matematico potentissimo molto più della semplice risoluzione formale.

Il primo approccio alla geometria analitica prende come presupposto la geometria euclidea e la definizione di un piano euclideo per la geometria piana e di uno spazio euclideo per quella solida.

In questo manuale ci occuperemo solamente della geometria analitica nel piano euclideo.

Il sistema di riferimento in tale piano è detto cartesiano ed è costituito da due rette orientate, perpendicolari tra di loro, ai quali si dà il nome di assi cartesiani.

Per convenzione, l’asse orizzontale è detto asse x o asse delle ascisse, mentre quello verticale è detto y o asse delle ordinate.

Ogni asse cartesiano è in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri reali, quindi ogni punto del piano cartesiano appartiene ad un insieme dato dal prodotto cartesiano di due insiemi di numeri reali.

Ogni punto è identificabile mediante una coppia ordinata di numeri, il primo indica l’ascissa del punto ossia il valore numerico risultante dalla proiezione ortogonale sull’asse delle ascisse, il secondo l’ordinata del punto, come da esempio in figura:

Tutti punti appartenenti all’asse x hanno ordinata nulla mentre tutti i punti appartenenti all’asse y hanno ascissa nulla.

Si vede che l’intersezione tra gli assi cartesiani ha coordinate cartesiane date da (0,0): tale punto è detto origine degli assi.

In geometria analitica, l’intersezione geometrica corrisponde ad un sistema di equazioni, che a sua volta corrisponde all’operazione di congiunzione logica.

Gli assi cartesiani dividono il piano in quattro quadranti.

Il primo quadrante è quello in cui sia le ascisse sia le ordinate sono positive. Gli altri quadranti si numerano seguendo un conteggio anti-orario.

Traslazione e distanza

Dato un generico punto di coordinate (a,b) si può effettuare una traslazione degli assi cartesiani generando un nuovo sistema di riferimento.

In tale sistema di riferimento, le nuove coordinate cartesiane sono:

Una funzione pari è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate mentre una funzione dispari è simmetrica rispetto all’origine.

Dalla traslazione degli assi, segue che una funzione pari può essere simmetrica rispetto ad una delle rette parallele all’asse delle ordinate e una funzione dispari rispetto ad uno dei punti de...