Matematica vettoriale, matriciale e tensoriale

Simone Malacrida

• Publisher: Simone Malacrida
• Year: 2016
• ISBN:
  9781523624829
• Topic: Matemáticas
• Subtopic: Análisis vectorial

In questo libro sono presentati i presupposti teorici dei seguenti argomenti matematici
vettori e calcolo vettoriale
matrici e calcolo matriciale
spazi vettoriali e matriciali
matematica e calcolo tensoriale

IV

MATEMATICA TENSORIALE

Definizioni

Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n su un campo K, lo spazio duale di V è lo spazio vettoriale formato da tutti i funzionali lineari che mappano V in K ed ha dimensione n.

Gli elementi di V sono detti vettori, quelli dello spazio duale covettori.

Definiamo tensore un’applicazione multilineare che associa ad h vettori e k covettori uno scalare sul campo K.

La multilinearità garantisce che la funzione sia lineare in ogni componente.

Un tensore così definito ha ordine dato dalla coppia (h,k).

L’insieme di tutti i tensori del medesimo ordine dà origine ad uno spazio vettoriale di dimensione pari a

Un tensore di ordine (h,k) è descritto da una matrice associata, detta griglia, di dimensione h+k.

Per descrivere il tensore in queste coordinate è necessario fissare una base, dato che basi differenti formano griglie differenti, quindi componenti del tensore differenti.

Definita una base di V che induce una base duale nello spazio duale, vale, per ogni elemento della base, la seguente relazione:

Un tensore di ordine (h,k) si può definire in tale modo in coordinate della base:

Un tensore è indipendente dalla scelta della base e questo lo si vedrà in modo evidente introducendo il prodotto tra tensori.

Date due differenti basi, esse sono collegate da una matrice di cambiamento di base e dalla sua matrice inversa tale per cui ogni elemento di una base è dato dalla moltiplicazione tra il corrispettivo elemento della matrice di cambiamento (o di quella inversa) per il corrispettivo elemento dell’altra base.

Si potranno esprimere due tensori del tutto equivalentemente in una base o nell’altra.

Detta A la matrice di cambiamento di base e C la matrice inversa si hanno queste espressioni equivalenti:

Gli h indici presenti in alto nella notazione tensoriale sono quelli di controvarianza in quanto si fa riferimento alla trasformazione inversa.

I k indici presenti in basso nella notazione tensoriale sono quelli di covarianza in quanto si fa riferimento alla trasformazione diretta.

Un tensore avente solo indici in basso è detto covariante, uno avente solo indici in alto è detto controvariante, un tensore avente indici sia in alto sia in basso è detto misto.

Per facilità di notazione, a livello tensoriale viene adottata la cosiddetta convenzione di Einstein sulle sommatorie.

La convenzione afferma che, quando un indice si presenta due volte in un termine di un’espressione, una volta in basso ed una in alto, occorre sommare rispetto ad esso, salvo esplicite controindicazioni. Ad esempio il prodotto scalare si scrive così, in notazione di Einstein:

Gli indici sommati secondo tale convenzione sono detti muti, gli altri sono detti liberi.

Una notazione che contiene lettere latine definisce una relazione tra tensori e quindi non è necessaria la scelta di una base di coordinate, una notazione che contiene lettere greche è una relazione tra le componenti dei tensori e quindi è necessaria una scelta di base.

Operazioni

Due tensori del medesimo ordine possono essere sommati tra di loro o moltiplicati per uno scalare, secondo le normali regole di additività e moltiplicazione.

La contrazione di un tensore è un’operazione che trasforma un tensore misto di ordine (h,k) in un altro tensore misto di ordine (h-1,k-1).

Tale operazione è anche detta traccia, difatti se il tensore è di ordine (1,1) l’operazione equivale al calcolo della traccia della matrice associata.

L’operazione di contrazione utilizza la notazione di Einstein, ad ...