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Matematica vettoriale, matriciale e tensoriale
Simone Malacrida
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Matematica vettoriale, matriciale e tensoriale
Simone Malacrida
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Table des matiĂšres
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Ă propos de ce livre
In questo libro sono presentati i presupposti teorici dei seguenti argomenti matematici
vettori e calcolo vettoriale
matrici e calcolo matriciale
spazi vettoriali e matriciali
matematica e calcolo tensoriale
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Sujet
MatemĂĄticasSous-sujet
AnĂĄlisis vectorialIV
MATEMATICA TENSORIALE
Definizioni
Dato uno spazio vettoriale V di dimensione n su un campo K, lo spazio duale di V Ăš lo spazio vettoriale formato da tutti i funzionali lineari che mappano V in K ed ha dimensione n.
Gli elementi di V sono detti vettori, quelli dello spazio duale covettori.
Definiamo tensore unâapplicazione multilineare che associa ad h vettori e k covettori uno scalare sul campo K.
La multilinearitĂ garantisce che la funzione sia lineare in ogni componente.
Un tensore cosĂŹ definito ha ordine dato dalla coppia (h,k).
Lâinsieme di tutti i tensori del medesimo ordine dĂ origine ad uno spazio vettoriale di dimensione pari a
Un tensore di ordine (h,k) Ăš descritto da una matrice associata, detta griglia, di dimensione h+k.
Per descrivere il tensore in queste coordinate Ăš necessario fissare una base, dato che basi differenti formano griglie differenti, quindi componenti del tensore differenti.
Definita una base di V che induce una base duale nello spazio duale, vale, per ogni elemento della base, la seguente relazione:
Un tensore di ordine (h,k) si puĂČ definire in tale modo in coordinate della base:
Un tensore Ăš indipendente dalla scelta della base e questo lo si vedrĂ in modo evidente introducendo il prodotto tra tensori.
Date due differenti basi, esse sono collegate da una matrice di cambiamento di base e dalla sua matrice inversa tale per cui ogni elemento di una base Ăš dato dalla moltiplicazione tra il corrispettivo elemento della matrice di cambiamento (o di quella inversa) per il corrispettivo elemento dellâaltra base.
Si potranno esprimere due tensori del tutto equivalentemente in una base o nellâaltra.
Detta A la matrice di cambiamento di base e C la matrice inversa si hanno queste espressioni equivalenti:
Gli h indici presenti in alto nella notazione tensoriale sono quelli di controvarianza in quanto si fa riferimento alla trasformazione inversa.
I k indici presenti in basso nella notazione tensoriale sono quelli di covarianza in quanto si fa riferimento alla trasformazione diretta.
Un tensore avente solo indici in basso Ăš detto covariante, uno avente solo indici in alto Ăš detto controvariante, un tensore avente indici sia in alto sia in basso Ăš detto misto.
Per facilitĂ di notazione, a livello tensoriale viene adottata la cosiddetta convenzione di Einstein sulle sommatorie.
La convenzione afferma che, quando un indice si presenta due volte in un termine di unâespressione, una volta in basso ed una in alto, occorre sommare rispetto ad esso, salvo esplicite controindicazioni. Ad esempio il prodotto scalare si scrive cosĂŹ, in notazione di Einstein:
Gli indici sommati secondo tale convenzione sono detti muti, gli altri sono detti liberi.
Una notazione che contiene lettere latine definisce una relazione tra tensori e quindi non Ăš necessaria la scelta di una base di coordinate, una notazione che contiene lettere greche Ăš una relazione tra le componenti dei tensori e quindi Ăš necessaria una scelta di base.
Operazioni
Due tensori del medesimo ordine possono essere sommati tra di loro o moltiplicati per uno scalare, secondo le normali regole di additivitĂ e moltiplicazione.
La contrazione di un tensore Ăš unâoperazione che trasforma un tensore misto di ordine (h,k) in un altro tensore misto di ordine (h-1,k-1).
Tale operazione Ăš anche detta traccia, difatti se il tensore Ăš di ordine (1,1) lâoperazione equivale al calcolo della traccia della matrice associata.
Lâoperazione di contrazione utilizza la notazione di Einstein, ad ...