Álgebra e introducción al cálculo

Irene F. Mikenberg

• Publisher: Ediciones UC
• Year: 2015
• ISBN:
  9789561426450
• Topic: Mathematics
• Subtopic: Mathematics General
• Index: Mathematics

Este libro cubre todas las materias de un curso universitario inicial de matemáticas y está pensado para que sirva a los profesores como texto guía y a los alumnos para comprender y ejercitar de manera concreta los temas propuestos. Cada capítulo cuenta con problemas resueltos paso a paso, una completa guía de ejercicios con solucionario y una autoevaluación, para que el estudiante pueda medir sus conocimientos y avances, además de un examen final donde el alumno podrá integrar todas las materias en una misma prueba. "Álgebra e Introducción al Cálculo" es un libro claro, directo y efectivo, que concuerda con la forma actual de aprendizaje secuencial utilizado en la enseñanza superior en estos temas, pero puede también ser extremadamente útil para alumnos de los últimos cursos de enseñanza media que piensan en seguir carreras con ramos matemáticos.

1 Lenguaje matemático

1.1 Introducción

La matemática estudia las propiedades de ciertos objetos, tales como números, operaciones, conjuntos, funciones, relaciones, etc., y para ello, es necesario poder contar con un lenguaje apropiado para expresar estas propiedades de manera precisa. Desarrollaremos aquí un lenguaje que cumpla estos requisitos, al cual llamaremos lenguaje matemático.

Aunque algunas de estas propiedades son evidentes, la mayoría de ellas no lo son y necesitan de una cierta argumentación que permita establecer su validez. Es fundamental por lo tanto conocer las principales leyes de la lógica que regulan la corrección de estos argumentos. Desarrollaremos aquí los conceptos de verdad, equivalencia y consecuencia lógica y algunas de sus aplicaciones al razonamiento matemático.

1.2 Lenguaje matemático

El lenguaje matemático está formado por una parte del lenguaje natural, al cual se le agregan variables y símbolos lógicos que permiten una interpretación precisa de cada frase.

1.2.1 Proposiciones

Llamaremos proposiciones a aquellas frases del lenguaje natural sobre las cuales podamos afirmar que son verdaderas o falsas. Ejemplos de proposiciones son:

“Dos es par”.

“Tres es mayor que siete”.

“Tres más cuatro es nueve”.

“Si dos es mayor que cinco entonces dos es par”.

“Dos no es par”.

En cambio las siguientes frases no son proposiciones:

“¿Es dos número par?”.

“ Dos más tres”.

“¡Súmale cinco!”.

Usamos letras griegas α, β, γ... etc., para denotar proposiciones.

1.2.2 Conectivos

Una proposición puede estar compuesta a su vez por una o varias proposiciones más simples, conectadas por una palabra o frase que se llama conectivo.

Los conectivos más usados son:

Negación

Consideremos la proposición

“dos no es par”.

Ésta está compuesta por la proposición más simple “dos es par” y por la palabra “no”, que constituye el conectivo negación.

Si α es una proposición, ¬ α denotará la proposición “no es verdad que α”.

Conjunción

Consideremos la proposición

“dos es par y tres es impar”,

la cual está compuesta por las proposiciones más simples “dos es par” y “tres es impar”, conectadas por la palabra “y”, que constituye el conectivo conjunción.

Si α y β son dos proposiciones, usamos (α ∧ β) para denotar la proposición “α y β”.

Disyunción

Consideremos la proposición

“dos es mayor que siete o siete es mayor que dos”.

Esta está compuesta por las proposiciones más simples “dos es mayor que siete” y “ siete es mayor que dos”, conectadas por la palabra “o”, que constituye el conecti...