1 Lenguaje matemático
1.1 Introducción
La matemática estudia las propiedades de ciertos objetos, tales como números, operaciones, conjuntos, funciones, relaciones, etc., y para ello, es necesario poder contar con un lenguaje apropiado para expresar estas propiedades de manera precisa. Desarrollaremos aquí un lenguaje que cumpla estos requisitos, al cual llamaremos lenguaje matemático.
Aunque algunas de estas propiedades son evidentes, la mayoría de ellas no lo son y necesitan de una cierta argumentación que permita establecer su validez. Es fundamental por lo tanto conocer las principales leyes de la lógica que regulan la corrección de estos argumentos. Desarrollaremos aquí los conceptos de verdad, equivalencia y consecuencia lógica y algunas de sus aplicaciones al razonamiento matemático.
1.2 Lenguaje matemático
El lenguaje matemático está formado por una parte del lenguaje natural, al cual se le agregan variables y símbolos lógicos que permiten una interpretación precisa de cada frase.
1.2.1 Proposiciones
Llamaremos proposiciones a aquellas frases del lenguaje natural sobre las cuales podamos afirmar que son verdaderas o falsas. Ejemplos de proposiciones son:
“Dos es par”.
“Tres es mayor que siete”.
“Tres más cuatro es nueve”.
“Si dos es mayor que cinco entonces dos es par”.
“Dos no es par”.
En cambio las siguientes frases no son proposiciones:
“¿Es dos número par?”.
“ Dos más tres”.
“¡Súmale cinco!”.
Usamos letras griegas α, β, γ... etc., para denotar proposiciones.
1.2.2 Conectivos
Una proposición puede estar compuesta a su vez por una o varias proposiciones más simples, conectadas por una palabra o frase que se llama conectivo.
Los conectivos más usados son:
Negación
Consideremos la proposición
“dos no es par”.
Ésta está compuesta por la proposición más simple “dos es par” y por la palabra “no”, que constituye el conectivo negación.
Si α es una proposición, ¬ α denotará la proposición “no es verdad que α”.
Conjunción
Consideremos la proposición
“dos es par y tres es impar”,
la cual está compuesta por las proposiciones más simples “dos es par” y “tres es impar”, conectadas por la palabra “y”, que constituye el conectivo conjunción.
Si α y β son dos proposiciones, usamos (α ∧ β) para denotar la proposición “α y β”.
Disyunción
Consideremos la proposición
“dos es mayor que siete o siete es mayor que dos”.
Esta está compuesta por las proposiciones más simples “dos es mayor que siete” y “ siete es mayor que dos”, conectadas por la palabra “o”, que constituye el conecti...