1Ăber das Problem der verborgenen Variablen in der Quantenmechanik
Die Arbeit wurde unterstĂŒtzt durch die U.S. Atomic Energy Commission. Stanford Linear Accelerator Center, Stanford University, Stanford, California.
1.1Einleitung
Die Kenntnis des quantenmechanischen Zustands eines Systems bedeutet im allgemeinen nur statistische EinschrĂ€nkungen fĂŒr die Ergebnisse von Messungen. Es scheint interessant, zu fragen, ob man sich dieses statistische Element (wie in der klassischen Mechanik) als Folge vorstellen soll â weil die fraglichen ZustĂ€nde Mittelwerte von besser definierten ZustĂ€nden sind, fĂŒr die die individuellen Ergebnisse vollstĂ€ndig bestimmt wĂ€ren. Diese hypothetischen, âdispersionsfreienâ ZustĂ€nde wĂ€ren dann nicht nur durch den quantenmechanischen Zustandsvektor gekennzeichnet, sondern auch durch zusĂ€tzliche âverborgene Variablenâ â âverborgenâ deshalb, weil, wenn ZustĂ€nde mit vorgegebenen Werten dieser Variablen hergestellt werden könnten, die Quantenmechanik im Hinblick auf die Observablen unzulĂ€nglich wĂ€re.
Ob diese Frage tatsĂ€chlich interessant ist, ist diskutiert worden [1,2]. Dieser Artikel trĂ€gt nicht zu dieser Diskussion bei. Er ist an diejenigen gerichtet, die die Frage interessant finden; und insbesondere diejenigen unter ihnen, die glauben, dass âdie Frage nach der Existenz solcher verborgenen Variablen eine frĂŒhzeitige und ziemlich endgĂŒltige Antwort durch von Neumanns BeweisĂŒber die mathematische Unmöglichkeit solcher Variablen in der Quantentheorie bekamâ [3]. Hier wird ein Versuch unternommen zu klĂ€ren, was von Neumann und seine Nachfolger tatsĂ€chlich demonstriert haben. Er beinhaltet sowohl von Neumanns Abhandlung, als auch die neuere Version des Arguments von Jauch und Piron [3], und das strengere Resultat aus der Arbeit von Gleason [4]. Es wird ins Feld gefĂŒhrt, dass diese Analysen die wirkliche Frage nicht berĂŒhren. Vielmehr wird zu sehen sein, dass diese Demonstrationen von den hypothetischen dispersionsfreien ZustĂ€nden nicht nur erfordern, dass geeignete Ensembles davon alle messbaren Eigenschaften von quantenmechanischen ZustĂ€nden haben sollten, sondern auĂerdem bestimmte andere Eigenschaften. Diese zusĂ€tzlichen Forderungen erscheinen vernĂŒnftig, wenn die Messergebnisse in grober Weise mit den Eigenschaften isolierter Systeme identifiziert werden. Sie mĂŒssen als völlig unvernĂŒnftig angesehen werden, wenn man mit Bohr [5] erinnert an âdie Unmöglichkeit einer scharfen Trennung zwischen dem Verhalten atomarer Objekte und der Wechselwirkung mit den Messinstrumenten, die dazu dienen, die Bedingungen zu definieren, unter denen die PhĂ€nomene erscheinen.â
Die Erkenntnis, dass von Neumanns Beweis eine begrenzte Bedeutung hat, hat seit der Arbeit von Bohm [6] 1952 an Boden gewonnen. Sie ist jedoch bei weitem nicht allgemein verbreitet. DarĂŒber hinaus hat der Verfasser in der Literatur keine entsprechende Analyse gefunden, was falsch gelaufen ist [7]. Wie alle Autoren von unbeauftragten Reviews glaubt er, dass er diese Situation mit solcher Klarheit und Einfachheit neu darstellen kann, dass alle frĂŒheren Diskussionen in den Schatten gestellt werden.
1.2Annahmen und ein einfaches Beispiel
Die Autoren der zu besprechenden Demonstrationen waren darauf bedacht, so wenig wie möglichĂŒber Quantenmechanik vorauszusetzen. Das ist fĂŒr manche Zwecke nĂŒtzlich, aber nicht fĂŒr unsere. Wir sind nur an der Möglichkeit von verborgenen Variablen in der gewöhnlichen Quantenmechanik interessiert und werden von allenĂŒblichen Notationen reichlich Gebrauch machen. Dadurch werden die Demonstrationen wesentlich abgekĂŒrzt.
Es wird angenommen, dass ein quantenmechanisches âSystemâ âObservablenâ besitzt, die durch hermitesche Operatoren in einem komplexen linearen Vektorraum dargestellt werden. Jede âMessungâ einer Observablen ergibt einen der Eigenwerte des entsprechenden Operators. Observablen mit kommutierenden Operatoren können gleichzeitig gemessen werden [8]. Ein quantenmechanischer âZustandâ wird durch einen Vektor im linearen Zustandsraum dargestellt. FĂŒr einen Zustandsvektor Ï ist der statistische Erwartungswert einer Observablen, mit dem Operator O, das normierte innere Produkt (Ï ,OÏ )/(Ï ,Ï).
Die strittige Frage lautet, ob quantenmechanische ZustĂ€nde als Ensembles von ZustĂ€nden betrachtet werden können â die weiter durch zusĂ€tzliche Variablen derart spezifiziert sind, dass gegebene Werte dieser Variablen (zusammen mit dem Zustandsvektor) die Ergebnisse individueller Messungen eindeutig festlegen. Diese hypothetischen, wohldefinierten ZustĂ€nde werden âdispersionsfreiâ genannt.
In der folgenden Diskussion ist es nĂŒtzlich, sich als einfaches Beispiel ein System mit zweidimensionalem Zustandsvektor vorzustellen. Wir betrachten zur Verdeutlichung ein Spin
Teilchen ohne Translationsbewegung. Ein solcher quantenmechanischer Zustand wird durch einen zweikomponentigen Zustandsvektor (oder Spinor) Ï dargestellt. Die Observablen werden durch hermitesche 2 Ă 2-Matrizen dargestellt
worin α eine reelle Zahl ist, ÎČ ein reeller Vektor ist und Ï als Komponenten die Pauli-Matrizen hat; α ist zu verstehen als Faktor mit der Einheitsmatrix. Die Messung einer solchen Observablen ergibt einen der Eigenwerte
mit relativen Wahrscheinlichkeiten, die aus dem Erwartungswert
abgeleitet werden. FĂŒr dieses System kann ein Schema mit verborgenen Variablen folgendermaĂen hinzugefĂŒgt werden: Die dispersionsfreien ZustĂ€nde werden sowohl durch eine reelle Zahl λ im Intervall â
†λ â€
, als auch den Spinor Ë spezifiziert. Um zu beschreiben, wie λ bestimmt, welchen Eigenwert die Messung ergibt, bemerken wir, dass Ï durch eine Drehung des Koordinatensystems in die Form gebracht werden kann
Es seien ÎČx,ÎČy,ÎČz die Komponenten von ÎČ im neuen Koordinatensystem. Dann ergibt die Messung von α +ÎČ .Ï fĂŒr den durch Ï und λ...