Capitolo 1
Tutti i numeri sono uguali al loro doppio
Si vuole dimostrare che:
a = 2a
per ogni a non necessariamente nullo.
Presi due numeri qualunque a e b tali che:
a = b
si moltiplichino entrambi i termini dellâuguaglianza per a, ottenendo:
a2 = ab
Sottraendo a entrambi i membri b2, continuerĂ a valere anche lâuguaglianza:
a2 â b2 = ab â b2
Ricordando che la differenza di due quadrati Ăš pari al prodotto della somma delle basi per la loro differenza, si ha:
(a + b) (a â b) = ab â b2
Raccogliendo b tra i termini di destra, possiamo scrivere:
(a + b) (a â b) = b(a â b)
Semplificando i termini dellâuguaglianza:
(a + b) (a â b) = b(a â b)
(a + b) = b
Dato che, per lâipotesi iniziale, a = b, Ăš possibile sostituire a a b nellâuguaglianza ottenendo:
2a = a
che Ăš quanto ci si era prefissati di dimostrare.
Questo risultato, inverosimile, Ăš stato ottenuto perchĂ© non si sono rispettate le âregole del giocoâ. Ogni passaggio o operazione, anche in una dimostrazione semplice come quella illustrata, ha delle regole, che non possono essere cambiate a piacimento, ignorate o adottate solo parzialmente.
Ă facile individuare lâerrore nella semplice dimostrazione proposta, ma affrontiamo il problema in modo metodico.
La dimostrazione inizia con lâaffermazione: âpresi due numeri qualunque a e b...â. Si parta quindi dallâinsieme di numeri (indicato con I nella figura) e dalla possibilitĂ di scegliere due elementi qualunque.
Nei passaggi successivi della dimostrazione, sono state utilizzate le quattro operazione elementari, addizione, moltiplicazione e le loro operazioni inverse, sottrazione e divisione.
Sono state considerate valide anche alcune proprietĂ elementari di tali operazioni: la proprietĂ commutativa e quella associativa. Non si Ăš posto vincoli sul loro uso e non tutte, comunque, sono state applicate direttamente. Quindi si Ăš applicata la proprietĂ distributiva della moltiplicazione rispetto lâaddizione.
Si Ăš ipotizzato che le operazioni applicate fossero tutte interne allâinsieme, cioĂš che il risultato dellâapplicazione di una di esse su due elementi dellâinsieme fosse ancora un elemento dellâinsieme stesso.
La prima obiezione, a quanto ipotizzato o sottinteso, nasce dallâuso incondizionato della sottrazione. Avremmo dovuto porre una condizione sulle caratteristiche dellâinsieme I sottolineando che non si trattava dellâinsieme dei naturali, o precisare un limite sullâapplicabilitĂ della sottrazione agli elementi dellâinsieme. Infatti, la sottrazione non Ăš unâoperazione interna allâinsieme dei numeri naturali perchĂ© sottraendo un numero qualunque a un altro qualunque, il risultato potrebbe essere un numero negativo, che non appartiene allâinsieme dei numeri naturali. Avremmo dovuto quindi porre una condizione sulle caratteristiche dellâinsieme I o allâapplicabilitĂ di tale operazione sugli elementi dellâinsieme dei naturali.
Nella sottrazione dei due numeri avremmo dovuto supporre anche la presenza dellâelemento neutro (lo zero), cosa non vera in generale, per convenzione, nellâinsieme dei naturali.
Nel prodotto dâentrambi i membri dellâeguaglianza per a, abbiamo sottinteso valida la proprietĂ commutativa, infatti abbiamo scritto:
a2 = ab
senza preoccuparci di scrivere, eventualmente, invertendo lâordine dei fattori:
a2 = ba
Abbiamo anche scritto, sempre supponendo valida la proprietĂ commutativa:
(a + b) (a â b) = b(a â b)
invece di:
(a â b) (a + b) = b(a â b)
Implicitamente abbiamo ipotizzato di operare con un insieme di numeri e con delle operazioni senza nessun vincolo.
Semplifichiamo tutte queste considerazioni supponendo che lâinsieme dei numeri, da cui sono stati scelti i due elementi, sia lâinsieme dei reali dove sappiamo valere tutte le ipotesi sopra indicate. Utilizziamo quindi lâinsieme dei numeri reali, anche se questo non Ăš strettamente necessario per la dimostrazione.
Con questa scelta non sono stati perĂČ risolti tutti i problemi. Il principale nasce dallâapplicazione della divisione. La divisione, infatti, non Ăš unâoperazione interna allâinsieme dei reali perchĂ© non Ăš possibile in generale dividere un elemento qualunque per un altro qualunque. Lâinsieme Ăš chiuso rispetto a tale operazione solo se si toglie lo zero.
Ă questa la âregola del giocoâ che abbiamo ignorato nella dimostrazione:
la divisione non poteva essere applicata senza una verifica sul divisore.
In un certo punto, nella dimostrazione, abbiamo diviso entrambi i termini dellâeguaglianza per zero. Dividendo impropriamente per zero lâuguaglianza 0·(a + b) = 0·b, ottenendo in questo modo (a + b) = b, abbiamo posto uguali due numeri qualunque.
Lâerrore era facilmente âscovabileâ nei pochi passaggi di questa dimostrazione. Ă un errore in cui gli studenti dei primi anni delle scuole superiori possono facilmente incorrere ma, se lo pensiamo immerso in pagine e pagine di calcoli e di espressioni letterali, potrebbe sfuggire anche a osservatori piĂč esperti. Tanto che Bernard Bolzano, scrivendo il suo I paradossi dellâinfinito nel 1848, menziona tale errore come diffuso ai suoi tempi. Non si portino, perĂČ, a spiegazione dellâerrore della nostra dimostrazione, concetti di infinito. Ci preme particolarmente sottolineare questo punto per una correttezza di ragionanento. PoichĂ©, senza molto formalismo, ma con molta efficacia, si usa comunemente dire che dividendo per zero un numero qualunque diverso da zero si ha infinito e che, moltiplicando un numero qualunque per infinito, il risultato Ăš comunque infinito, lâerrore nella nostra dimostrazione potrebbe essere analizzato sulla base di tali concetti.
Bernard Bolzano (1781-1848)
Matematico e filosofo di origine italiana, nato e morto a Praga. Fu per anni professore di Filosofia della religione a Praga. Si dedicĂČ alla logica, alla matematica, alla filosofia, alla fisica e alla sociologia. Purtroppo Bolzano ha avuto un limitato impatto sullâanalisi matematica moderna poichĂ© la maggior parte dei suoi scritti rimase inedita e dimenticata per decenni, nonostante lâelevato rigore e il profondo contenuto innovativo rispetto a quello dei contemporanei.
In realtĂ :
il problema risiede solamente nellâaver ignorato le proprietĂ delle operazioni definite sullâinsieme dei numeri reali,
e non Ăš necessario o, meglio ancora, non Ăš appropriato introdurre in modo forzato il concetto di infinito.
Approfittiamo per affrontare una tematica affine: Ăš importante ricordare che, a causa delle approssimazioni nel calcolo numerico con calcolatori elettronici, la divisione con numeri piccoli deve essere gestita con cura, perchĂ© potrebbe portare a grossolani errori nei risultati. Nei programmi al calcolatore, ricordatevi di porre delle condizioni sul divisore e, allâoccorrenza, su tutte le operazioni con numeri piccoli. Gestite il calcolo con una procedura specifica anche perchĂ© il numero totale delle cifre utilizzate da un calcolatore Ăš limitato e potrebbe non essere sufficiente alle vostre necessitĂ .
Si consideri, a questo scopo, il seguente esempio. Mediante una calcolatrice tascabile, con display a 10 cifre, si effettuino queste operazioni in successione:
quindi si moltiplichi il risultato per 100. Il nostro calcolatore tascabile fornirĂ uno 0 mentre Ăš evidente, effettuando le semplificazioni con carta e penna, che il risultato, al contrario, Ăš 1.
Approfondimenti
Lâinsieme di elementi e le operazioni interne sugli elementi formano le strutture algebriche. Con altri numeri e con altre proprietĂ avremmo potuto realizzare altre dimostrazioni paradossali, per esempio ignorando lâordine dei fattori in strutture algebriche dove non vale la proprietĂ commutativa. PoichĂ© il concetto di struttura algebrica non Ăš molto utilizzato e non ha neppure molta utilitĂ nelle applicazioni dei non professionisti della matematica, Ăš anche uno degli argomenti di studio che Ăš piĂč frequentemente dimenticato. Facciamo un breve ripasso perchĂ© riteniamo che le strutture algebriche abbiano una notevole importanza dal punto di vista della metodologia necessaria per affrontare i problemi. Nomenclatura e definizioni, che spesso nella letteratura matematica non son...