Non Ăš uno dei sette problemi del millennio individuati dal Clay Institute, non Ăš neppure tra i 23 problemi di Hilbert, ma Ăš un problema che ci ha particolarmente interessato (vedi [BL4]) e lo consideriamo tra i grandi.
Nel 1950, nel volume LXXXIII dei Rendiconti dellâIstituto Lombardo di Scienze e Lettere, veniva pubblicata per i tipi dellâHoepli una nota di Giuseppe Giuga intitolata Su una presumibile proprietĂ caratteristica dei numeri primi presentata allâadunanza del 6 luglio dello stesso anno [GG].
Il matematico partiva dallâassunto che nessun numero composto con meno di mille cifre possa soddisfare la relazione 1n â 1 + 2n â 1 + ... + (n â 1)n â 1 ⥠â1 mod n, che Ăš invece valida per ogni numero primo. Anzi, egli affermĂČ che un numero Ăš primo se e solo se soddisfa la precedente relazione e in questo consiste la cosiddetta congettura di Giuga.
Il piccolo teorema di Fermat1 afferma che, se p Ăš un numero primo, allora abbiamo per a intero a p ⥠a mod p. Una formulazione equivalente ma piĂč ristretta Ăš ap â 1 ⥠1 mod p dove p Ăš un primo e a Ăš coprimo con p [CJGR]. Come conseguenza di questo teorema abbiamo che tutti i primi p dividono
Il problema Ăš se mai esistano dei numeri composti che soddisfino questa proprietĂ . Giuga riuscĂŹ a dimostrare che
mod p se e solo se per tutti i fattori primi p di n sia p sia p â 1 dividono
Il matematico giapponese Takashi Agoh formulĂČ nel 1990 una rappresentazione equivalente molto elegante, ossia che nBn â 1 ⥠â1 mod n se e solo se n Ăš primo; B Ăš un numero di Bernoulli.
La congettura di Giuga e quella di Agoh sono equivalenti in quanto se esistesse un controesempio per una delle due lo sarebbe automaticamente anche per lâaltra. Tale controesempio dovrebbe essere contemporaneamente un numero di Giuga e un numero di Carmichael, ossia dispari e non multiplo di quadrati. Ricordiamo che i numeri di Carmichael sono numeri composti che soddisfano alla relazione b n â 1 ⥠1 mod n per ogni b coprimo con n. In particolare tali numeri sono il prodotto di tre o piĂč primi dispari distinti e per ognuno di tali primi p vale il criterio di Korselt che afferma che p â 1 divide n â 1.
Ritorniamo perĂČ ai numeri di Giuga. Come detto, la relazione
mod n vale solo per n primo. Ma se sostituiamo lâesponente n â 1 con Ï (n), cioĂš con la funzione totiente di Eulero,
mod n vale sempre per tutti i primi ma anche per alcuni composti, detti per lâappunto numeri di Giuga. In particolare n Ăš un numero di Giuga se e solo se
Ăš intero. Il piĂč piccolo numero di Giuga Ăš 30. Essendo i suoi fattori primi 2, 3 e 5 abbiamo
Per tutti questi valori la differenza tra la somma dei reciproci dei fattori primi e il reciproco del numero Ăš pari a 1. Se mai esistessero dei numeri con tale differenza maggiore di 1, dovrebbero avere almeno 59 fattori primi!
Nel 2009, Paolo Lava congetturĂČ che i numeri di Giuga fossero le sole soluzioni dellâequazione n' = n + 1, dove n' Ăš la derivata aritmetica di n. Ossia, indicando la scomposizione in fattori primi con
i numeri di Giuga sarebbero le uniche soluzioni di
La congettura equivale ad affermare che le soluzioni dellâequazione n' = an + 1, con a â„ 1 rappresentante la differenza prima descritta, esprimano numeri di Giuga solo per a = 1.
Ovviamente non Ăš detto che la congettura possa essere confermata ma, sicuramente, ci vorranno parecchi anni per dimostrarne lâeventuale infondatezza presentando un nuovo numero di Giuga con differenza maggiore di 1.
Non si sa inoltre se la sequenza dei numeri di Giuga sia infinita e se esistano dei numeri di Giuga dispari.
Per approfondimenti: [AG], [GO1], [GO2], [KBC], [BL4].
1 Per le proprietĂ dellâequazioni modulari vedi, per esempio, lâappendice a [BL4])
13.I problemi del CaffĂš Scozzese (Unâapprossimazione negli spazi di Banach)
Per gli ucraini Ăš Lviv, per i russi e i polacchi Lwow o Lâvov, per i tedeschi Lemberg e per noi italiani Ăš Leopoli, dal latino Leopolis che significa la âcittĂ del leone...
