An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry
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An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry

William M. Boothby

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Informations

Éditeur
Academic Press
Année
1986
ISBN
9780080874395
Édition
2
Sujet
Mathematics
Sous-sujet
Number Theory
1 
INTRODUCTION 
TO 
MANIFOLDS 
In 
this 
chapter, 
we 
establish 
some 
preliminary 
notations 
and 
give 
an 
intuitive, 
geometric 
discussion 
of 
a 
number 
of 
examples 
of 
manifolds-the 
primary 
objects 
of 
study 
throughout 
the 
book. 
Most 
of 
these 
examples 
are 
surfaces 
in 
Euclidean 
space; 
for 
these-together 
with 
curves 
on 
the 
plane 
and 
in 
space-were 
the 
original 
objects 
of 
study 
in 
classical 
differential 
geometry 
and 
are 
the 
source 
of 
much 
of 
the 
current 
theory. 
The 
first 
two 
sections 
deal 
primarily 
with 
notational 
matters 
and 
the 
relation 
between 
Euclidean 
space, 
its 
model 
R", 
and 
real 
vector 
spaces. 
In 
Section 
3 
a 
precise 
definition 
of 
topological 
manifolds 
is 
given, 
and 
in 
the 
remaining 
sections 
this 
concept 
is 
illustrated. 
1 
Preliminary 
Comments 
on 
R" 
Let 
R 
denote 
the 
real 
numbers 
and 
R" 
their 
n-fold 
Cartesian 
product 
R-, 
the 
set 
of 
all 
ordered 
n-tuples 
(x', 
... 
, 
x") 
of 
real 
numbers. 
Individual 
n- 
tuples 
may 
be 
denoted 
at 
times 
by 
a 
single 
letter. 
Thus 
x 
= 
(x', 
..., 
x"), 
a 
= 
(a', 
..., 
a"), 
and 
so 
on. 
We 
agree 
once 
and 
for 
all 
to 
use 
on 
R" 
its 
topology 
as 
a 
metric 
space 
with 
the 
metric 
defined 
by 
1 

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