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Undergraduate Convexity
From Fourier and Motzkin to Kuhn and Tucker
Niels Lauritzen
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Undergraduate Convexity
From Fourier and Motzkin to Kuhn and Tucker
Niels Lauritzen
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Ă propos de ce livre
Based on undergraduate teaching to students in computer science, economics and mathematics at Aarhus University, this is an elementary introduction to convex sets and convex functions with emphasis on concrete computations and examples.
Starting from linear inequalities and Fourier–Motzkin elimination, the theory is developed by introducing polyhedra, the double description method and the simplex algorithm, closed convex subsets, convex functions of one and several variables ending with a chapter on convex optimization with the Karush–Kuhn–Tucker conditions, duality and an interior point algorithm.
Contents:
- Fourier–Motzkin Elimination
- Affine Subspaces
- Convex Subsets
- Polyhedra
- Computations with Polyhedra
- Closed Convex Subsets and Separating Hyperplanes
- Convex Functions
- Differentiable Functions of Several Variables
- Convex Functions of Several Variables
- Convex Optimization
- Appendices:
- Analysis
- Linear (In)dependence and the Rank of a Matrix
Readership: Undergraduates focusing on convexity and optimization.
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Oui, vous pouvez accĂ©der Ă Undergraduate Convexity par Niels Lauritzen en format PDF et/ou ePUB ainsi quâĂ dâautres livres populaires dans Mathematics et Applied Mathematics. Nous disposons de plus dâun million dâouvrages Ă dĂ©couvrir dans notre catalogue.
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Sujet
MathematicsSous-sujet
Applied MathematicsChapter 1
Fourier-Motzkin elimination
You probably agree that it is easy to solve the equation
This is an example of a linear equation in one variable having the unique solution x = 2. Perhaps you will be surprised to learn, that there is essentially no difference between solving a simple equation like (1.1) and the more complicated system
of linear equations in x, y and z. Using the first equation 2x + y + z = 7 we solve for x and get
This may be substituted into the remaining two equations in (1.2) and we get the simpler system
of linear equations in y and z. Again using the first equation in this system we get
ending up with the simple equation 8z = 24. This is an equation of the type in (1.1) giving z = 3. Now z = 3 gives y = 2 using (1.4). Finally y = 2 and z = 3 gives x = 1 using (1.3).
Solving a seemingly complicated system of linear equations like (1.2) is really no more difficult than solving the simple equation (1.1). One of the world's greatest scientists, Isaac Newton, found it worthwhile to record this method in 1720 with the words
And you are to know, that by each Ăquation one unknown Quantity may be taken away, and consequently, when there are as many Ăquations and unknown Quantities, all at length may be reduc'd into one, in which there shall be only one Quantity unknown.
During the computation of the orbit of the asteroid Pallas around 1810, Gauss encountered the need for solving linear equations related to his famous least squares method. If you spend a little time deciphering the Latin in Gauss's original writings (see Figure 1.3), you will see how elimination appears naturally towards the end of the page. In spite of Newton's explicit ...