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Matematica: numeri complessi
Simone Malacrida
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Matematica: numeri complessi
Simone Malacrida
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In questo libro sono presentati i presupposti teorici dei seguenti argomenti matematici:
numeri complessi
rappresentazione nel piano di Gauss
risoluzione di equazioni algebriche di terzo grado
Ogni argomento è trattato mettendo in risalto le applicazioni pratiche e risolvendo alcuni esercizi significativi.
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Information
I
NUMERI COMPLESSI
Introduzione e proprietĂ
I numeri complessi sono stati introdotti per dare soluzioni alle equazioni polinomiali in qualunque caso, ma oggigiorno rappresentano un importante strumento matematico per risolvere svariati problemi concreti, dalla fisica allâelettrotecnica, dalla trasmissione dei segnali fino alla meccanica.
Il punto iniziale è la definizione di unâunitĂ immaginaria, detta i che soddisfa tale proprietĂ :
Pertanto con lâintroduzione dei numeri complessi si attua una rimozione della condizione di esistenza data dal radicando maggiore o uguale a zero per radici con indice pari.
Un numero complesso è definito considerando una parte reale e una immaginaria, in tale modo:
Dove a è la parte reale, denotata con Re(z), mentre b la parte immaginaria, denotata con Im(z). Questa notazione dei numeri complessi è detta forma cartesiana e il numero complesso si dice espresso in coordinate cartesiane.
Un numero complesso è una coppia ordinata di numeri reali (a,b) e le parti reale e immaginaria sono ottenute semplicemente ponendo b=0 oppure a=0.
CosÏ facendo ogni numero complesso può essere scritto come combinazione lineare:
Essendo definita lâunita immaginaria i=(0,1)
Operazioni
Lâaddizione e la sottrazione dei numeri complessi è semplicemente data dalle rispettive addizioni e sottrazioni delle parti reali ed immaginarie:
La moltiplicazione tra numeri complessi è data da:
La divisione tra numeri complessi è data da:
Si vede che la somma, la differenza, il prodotto e il rapporto tra numeri complessi danno come risultato altri numeri complessi.
Lâinsieme dei numeri complessi, denotato con C, è dunque un campo, valendo anche le proprietĂ associativa, commutativa e distributiva.
Si definisce complesso coniugato quel numero complesso avente medesima parte reale, ma parte immaginaria di segno opposto e si denota con una stanghetta sopra il numero:
Sussistono le seguenti proprietĂ per i numeri complessi coniugati:
Va da sĂŠ che due numeri complessi sono uguali se e solo se sono uguali sia le parti reali sia le parti immaginarie.
Il modulo (o valore assoluto) di un numero complesso è dato da:
Valgono le seguenti proprietĂ per i moduli:
La prima proprietà è detta disuguaglianza triangolare.
Il reciproco di un numero complesso è dato da:
Combinando i concet...