Matematica: numeri complessi
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Matematica: numeri complessi

Simone Malacrida

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Matematica: numeri complessi

Simone Malacrida

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À propos de ce livre

In questo libro sono presentati i presupposti teorici dei seguenti argomenti matematici:
numeri complessi
rappresentazione nel piano di Gauss
risoluzione di equazioni algebriche di terzo grado
Ogni argomento Ăš trattato mettendo in risalto le applicazioni pratiche e risolvendo alcuni esercizi significativi.

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Informations

Année
2016
ISBN
9781523607761

I

NUMERI COMPLESSI





Introduzione e proprietĂ 


I numeri complessi sono stati introdotti per dare soluzioni alle equazioni polinomiali in qualunque caso, ma oggigiorno rappresentano un importante strumento matematico per risolvere svariati problemi concreti, dalla fisica all’elettrotecnica, dalla trasmissione dei segnali fino alla meccanica.
Il punto iniziale ù la definizione di un’unità immaginaria, detta i che soddisfa tale proprietà:

immagine 1


Pertanto con l’introduzione dei numeri complessi si attua una rimozione della condizione di esistenza data dal radicando maggiore o uguale a zero per radici con indice pari.
Un numero complesso Ăš definito considerando una parte reale e una immaginaria, in tale modo:

immagine 2


Dove a Ăš la parte reale, denotata con Re(z), mentre b la parte immaginaria, denotata con Im(z). Questa notazione dei numeri complessi Ăš detta forma cartesiana e il numero complesso si dice espresso in coordinate cartesiane.
Un numero complesso Ăš una coppia ordinata di numeri reali (a,b) e le parti reale e immaginaria sono ottenute semplicemente ponendo b=0 oppure a=0.
CosĂŹ facendo ogni numero complesso puĂČ essere scritto come combinazione lineare:

immagine 3


Essendo definita l’unita immaginaria i=(0,1)


Operazioni


L’addizione e la sottrazione dei numeri complessi ù semplicemente data dalle rispettive addizioni e sottrazioni delle parti reali ed immaginarie:

immagine 4


La moltiplicazione tra numeri complessi Ăš data da:

immagine 5


La divisione tra numeri complessi Ăš data da:

immagine 6


Si vede che la somma, la differenza, il prodotto e il rapporto tra numeri complessi danno come risultato altri numeri complessi.
L’insieme dei numeri complessi, denotato con C, ù dunque un campo, valendo anche le proprietà associativa, commutativa e distributiva.
Si definisce complesso coniugato quel numero complesso avente medesima parte reale, ma parte immaginaria di segno opposto e si denota con una stanghetta sopra il numero:

immagine 7


Sussistono le seguenti proprietĂ  per i numeri complessi coniugati:

immagine 8


Va da sé che due numeri complessi sono uguali se e solo se sono uguali sia le parti reali sia le parti immaginarie.
Il modulo (o valore assoluto) di un numero complesso Ăš dato da:

immagine 9


Valgono le seguenti proprietĂ  per i moduli:

immagine 10


La prima proprietĂ  Ăš detta disuguaglianza triangolare.
Il reciproco di un numero complesso Ăš dato da:

immagine 11


Combinando i concet...

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