Matematica: numeri complessi

Simone Malacrida

• Verlag: Simone Malacrida
• Jahr: 2016
• ISBN:
  9781523607761
• Thema: Mathematics
• Thema: Complex Analysis

In questo libro sono presentati i presupposti teorici dei seguenti argomenti matematici:
numeri complessi
rappresentazione nel piano di Gauss
risoluzione di equazioni algebriche di terzo grado
Ogni argomento è trattato mettendo in risalto le applicazioni pratiche e risolvendo alcuni esercizi significativi.

I

NUMERI COMPLESSI

Introduzione e proprietà

I numeri complessi sono stati introdotti per dare soluzioni alle equazioni polinomiali in qualunque caso, ma oggigiorno rappresentano un importante strumento matematico per risolvere svariati problemi concreti, dalla fisica all’elettrotecnica, dalla trasmissione dei segnali fino alla meccanica.

Il punto iniziale è la definizione di un’unità immaginaria, detta i che soddisfa tale proprietà:

Pertanto con l’introduzione dei numeri complessi si attua una rimozione della condizione di esistenza data dal radicando maggiore o uguale a zero per radici con indice pari.

Un numero complesso è definito considerando una parte reale e una immaginaria, in tale modo:

Dove a è la parte reale, denotata con Re(z), mentre b la parte immaginaria, denotata con Im(z). Questa notazione dei numeri complessi è detta forma cartesiana e il numero complesso si dice espresso in coordinate cartesiane.

Un numero complesso è una coppia ordinata di numeri reali (a,b) e le parti reale e immaginaria sono ottenute semplicemente ponendo b=0 oppure a=0.

Così facendo ogni numero complesso può essere scritto come combinazione lineare:

Essendo definita l’unita immaginaria i=(0,1)

Operazioni

L’addizione e la sottrazione dei numeri complessi è semplicemente data dalle rispettive addizioni e sottrazioni delle parti reali ed immaginarie:

La moltiplicazione tra numeri complessi è data da:

La divisione tra numeri complessi è data da:

Si vede che la somma, la differenza, il prodotto e il rapporto tra numeri complessi danno come risultato altri numeri complessi.

L’insieme dei numeri complessi, denotato con C, è dunque un campo, valendo anche le proprietà associativa, commutativa e distributiva.

Si definisce complesso coniugato quel numero complesso avente medesima parte reale, ma parte immaginaria di segno opposto e si denota con una stanghetta sopra il numero:

Sussistono le seguenti proprietà per i numeri complessi coniugati:

Va da sé che due numeri complessi sono uguali se e solo se sono uguali sia le parti reali sia le parti immaginarie.

Il modulo (o valore assoluto) di un numero complesso è dato da:

Valgono le seguenti proprietà per i moduli:

La prima proprietà è detta disuguaglianza triangolare.

Il reciproco di un numero complesso è dato da:

Combinando i concet...